Аксиомы евклидовых и унитарных пространства.

Пусть $F$ - одно из полей $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, $V$ - векторное пространство над $F$. Отображение $V \times V \to F$ называется скалярным произведением (обозначается $xy$, $(x,y)$ или $<x|y>$), если выполнены аксиомы: 1) $\forall{x, y \in V}~~ xy = \overline{yx}$ 2) $\forall{x, y \in V}~~ \forall{\alpha \in F}~~ (\alpha x)y = \alpha(xy)$ 3) $\forall{x,y,z \in V}~~ (x+y)z = xz + yz$ 4) $\forall{x \in V}~~ xx \geq 0$. Причём $xx = 0 \iff x = 0$ Пространство со скалярным произведением над $\mathbb{R}$ называется **евклидовым**. Пространство со скалярным произведением над $\mathbb{C}$ называется **унитарным**.

1) $\forall{x, y \in V}~~ \forall{\alpha \in F}~~ x(\alpha y) = \overline{\alpha}(xy)$ 2) $\forall{x, y, z \in V}~~ x(y+z) = xy + xz$

Свойство 1: $$x(\alpha y) =^{1} \overline{(\alpha y)x} =^{2} \overline{\alpha(yx)} =^{\Delta} \overline{\alpha} \cdot \overline{yx} =^{1} \overline{\alpha}(xy)$$ Свойство 2: $$x(y+z) =^{1} \overline{(y+z)x} =^{3} \overline{yx + zx} =^{\Delta} \overline{yx} + \overline{zx} =^{1} xy + xz$$ $\Delta$ - свойства комплексного сопряжения

Если $V$ - пространство со скалярным произведением, то: $$\forall{x}~~ ax = bx \lor xa = xb \implies a = b$$

Докажем первое утверждение. Из условия вытекает, что $\forall{x \in V}~~ (a-b)x = 0$. Возьмём в качестве $x = a-b$. Тогда в силу 4 аксиомы отсюда вытекает, что $a - b = 0$, а значит $a = b$. Второе утверждение доказывается аналогично. $~~~\square$